אם x λ = Ax אז x ⋅ A ≤ x = Ax ⋅λ מכאן שכל הערכים העצמיים האפשריים של A נמצאים בעיגול A ≤ λ . כאשר A צמוד לעצמו , כל הערכים העצמיים שלו ממשיים ( שאלה 2 א ) ולכן כולם שייכים לקטע ⎦ ⎤ A , A − ⎣ ⎡ . בסעיף זה נוכיח כי אם A קומפקטי וצמוד לעצמו , אז לפחות אחד מהמספרים A או A − הוא ערך עצמי של . A נוכיח גם כי אם A הוא אופרטור קומפקטי נורמלי במרחב מרוכב , אז יש לו ערך עצמי λ אשר מקיים = A λ . משפט 5 . 5 יהי A אופרטור קומפקטי וצמוד לעצמו . אז לפחות אחד מהמספרים A או A − הוא ערך עצמי של . A הוכחה במקרה A = 0 המשפט הוא טריוויאלי ולכן נניח בהמשך כי 0 ≠ . A לפי משפט 4 . 21 1 ) A = sup Ax , x ) x = 1 כיוון ש – Ax , x הוא מספר ממשי , נסיק מהגדרת הסופרמום כי קיימת סדרה { , x n = 1 , { x n כך ש – λ → 2 ) Ax , x ) n n כאשר = A λ או A − = λ . בכל מקרה 2 2 0 ≠ A = λ ( 3 ) נראה כי λ אשר מופיע ב – ( 2 ) הוא ערך עצמי של . A נתבונן בזהות : 2 2 2 λ + Ax , x λ 2 − x = Ax λ − Ax n n n nn מאחר ש – A ≤ , Ax n נקבל כי 2 2 λ + Ax , x λ 2 − A ≤ x λ − Ax ≤ 0 n n nn אגף ימין שואף ל – 0 ( לפי ( ( 3 ) , ( 2 ) ולכן נסיק מכ...
אל הספר