כאשר x → , x n דהיינו כאשר 0 → x − , x נוהגים לומר כי הסדרה { x } מתכנסת חזק ל – . x זאת - על מנת להבחין בין התכנסות זו לבין " התכנסות חלשה " שתוגדר להלן . ההתכנסות החלשה מוצאת שימוש רב בענפים שונים של האנליזה ( תורת המידה , תורת האינטרפו – לציה , תורת ההסתברות ) . כאן ננצל אותה למטרה צנועה יותר - נתאר באמצעותה תכונה חשובה אשר מאפיינת אופרטורים קומפקטיים . נחזור לנושא זה ( מנקודת מבט כללית יותר ) בפרק . 6 אם זמנכם דוחק , תוכלו לדלג על סעיף זה ולחזור אליו מאוחר יותר . כזכור , אם x → x ב – , H אז מתקיים גם לכל H ∈ xy y , → 1 ) x , y ) במרחב סוף – ממדי נכון גם ההיפך שכן אם { ϕ , … , ϕ } הוא בסיס אורתונורמלי של מרחב k – ממדי , H נסיק מ – ( 1 ) כי מכאן ש – כלומר x → . x לא כך הדבר אם H הוא אינסוף – ממדי . תהי למשל { ϕ } מערכת אורתונורמלית אינסופית ב – . H מאי – שוויון בסל נובע , כי לכל H ∈ y = 00 , y → y , ϕ n בעוד שהסדרה { ϕ } אינה מתכנסת כלל . לאור ממצאים אלה נביא את ההגדרה הבאה .
אל הספר