סעיף 3. גזירה ודיפרנציאביליות של פונקציות בשני משתנים

הגדרה : הפונקציה z = f ( x , y ) נקראת גזירה ה > קי ; 7 בנקודה ( x y o ' o ^ אמ בנקודה זו קיימות נגזרות חלקיות שלה . הגדרה : הפונקציה z = f ( x , y ) נקראת ריפרנציאבילית בנקודה ( ץ , ( x אם בנקודה זו קיים דיפרנציאל שלם שלה , ז . א . קיימת ההצגה . ( 1 ) ברור שאם הפונקציה דיפרנציאבילית , אזי היא גזירה חלקית , הטענה ההפוכה אינה נכונה . דוגמא : נתבונן שוב בפונקציה כזכור , הנגזרות החלקיות שלה קיימות בכל נקודה ובפרט בראשית : f ;( 0 , 0 ) = f ' ( 0 , 0 ) = 0 A y כלומר , הפונקציה הנתונה גזירה חלקית בכל המישור . נראה עתה שהיא אינה דיפרנציאבילית בראשית . אמנם , לו הפונקציה היתה דיפרנציאבילית , אזי היתה קיימת ההצבה : a ] » C * O / ft אינו קיים i 1 r וזאת סתירה , משום שהגבול 2 3 / 2 ^ [ Ax + ^] רמז : חקור שאיפה לאורך שני המסלולים : א . Ax = Ay ב . Ay = 2 Ax  אל הספר
הוצאת דקל - פרסומים אקדמיים בע"מ