|
|
עמוד:9
. 5 גם הגדרות ותכונות הרציפות והרציפות במידה שווה של פונקציות ( תכונה 01 מתוך הרשימה שבסעיף 1 . 4 ) נשארות בתוקף במרחבים נורמיים . . 6 סדרה V ⊂ { x n } נקראת סדרת קוש י אם 0 → x m − x כאשר ∞ → . m , n כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי . כל סדרת קושי היא סדרה חסומה . ∞ . 7 אומרים שטור x n ∑ של וקטורי מרחב נורמי V מתכנס לווקטור V ∈ x אם סדרת n = 1 k ∞ הסכומים החלקיים x n ∑ = s k מתכנסת ל – . x במקרה זה רושמים x = x ∑ . n = 1 n = 1 תכונת הלינאריות : ∞ ∞ אם x = x ∑ ו - y = y ∑ , אז לכל סקלרים β , α n = 1 n = 1 ∞ xy β + α = ( y β + x α) ∑ n = 1 תנאי הכרחי להתכנסות טור : אם הטור nx ∑ מתכנס אז 0 → . nx בשלב זה נסתפק בתכונות אלה , בהמשך נפגוש עוד מספר הגדרות ותכונות המוכרות לנו מהפרקים הקודמים . כמובן , כל מרחב מכפלה פנימית הוא גם מרחב נורמי , אם נגדיר כרגיל 1 / 2 1 ) x = x , x ) הטענה ההפוכה אינה נכונה , כלומר קיימים מרחבים נורמיים שעבורם אי – אפשר להגדיר מכפלה פנימית אשר הנורמה הנוצרת על – ידה ( לפי נוסחה ( ( 1 ) מתלכדת עם הנורמה הקיימת במרחב . במקרה זה אומרים בקצרה , כי מרחב נורמי איננו מרחב מכפלה פנימית . › דוגמ ה נתבונן במרחב האופרטורים ( S ( E , E אשר כבר הוזכר במבוא לפרק זה . לפי ממצאי שאלה 1 בפרק , 3 זהו מרחב וקטורי , והנורמה בו ( הנורמה של אופרטורים ) עונה על הדרישות שבהגדרה . 6 . 1 אי – לכך , זהו מרחב נורמי . נראה כי אם E 1 ו – E הם בעלי מימד 2 לפחות , אז ( S ( E , E איננו מרחב מכפלה פנימית . אכן , אילו היה כזה , אז לכל שני אופרטורים B , A במרחב זה היתה מתקיימת זהות המקבילית ( רא ו נוסחה ( 3 ) בסעיף : ( 1 . 4 2 2 2 2 AB = 2 A + 2 B − + 2 ) A + B ) נבנה עתה B , A כך ש – ( 2 ) לא יתקיים , ובכך נאשר את קביעתנו .
|
|