פיתוח נוסחת לוינגר

נספחים | 241 מקבלים את כל השנים במחזור ומכאן נובע שניתן לבטא סך כלשהו של שנים A כך : A = 8 - 8 a + 19 c כאשר : 18 ≤ a ≤ 0 ו- c מספר שלם . משפט : תהי Aהנש השנה העברית כאשר : A = 8 - 8 a + 19 c a מקבל את הערכים 0 עד 18 ו- c מספר שלם, אזי Aךותב יהיו a + 7 c 3 - 3 שנים מעוברות ו- a + 12 c 5 - 5 שנים פשוטות ( Cוא 7 c 12 נובע מכך שבכל 19 שנים יש 7 שנים מעוברות ו- 12 פשוטות ) . לדוגמה : עד שנת תש“פ חלפו 5,779 שנים שאותם ניתן לבטא כך : ( X 3 ( + ) 19 X305 8 ) - 8 = 5,779 a = 3 , c = 305 כלומר : 2,129 = ( a + 7 c = 3 - ) 3 X 3 ( + ) 7 X305 3 - 3 2,129 שנים מעוברות ו- 3,650 שנים פשוטות . רעיון זה דומה למה שעשה גאוס ( ראו לעיל בפרק העשירי ) רק בכיוון ההפוך, כלומר, אם מתחילים בשנה השמינית במחזור וחוזרים כל פעם 8 שנים אחורה, אזי בטווח של 144 שנים, בכל קבוצה של 8 שנים יהיו 3 שנים מעוברות ו- 5 שנים פשוטות ( כפי שניתן לראות בטבלה 40 ) . 242 | הלוח הע ב רי הקבוע סך מעוברות a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 0 3 12 13 14 15 16 17 18 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 15 16 17 18 0 1 2 3 3 3 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3 18 0 1 2 ...  אל הספר