בפרק 3 הכרנו פונקציונלים לינאריים במרחבי הילברט , אך ראינו בהם רק מקרה פרטי של אופרטורים לינאריים . כזכור , משפט ההצגה של ריס ( משפט 3 . 5 ) טוען , כי כל פונקציונל לינארי חסום במרחב הילברט הוא מכפלה פנימית בווקטור קבוע במרחב , ולכן אין חידוש משמעותי בשימוש בפונקציונלים לינאריים במרחבי הילברט . לעומת זאת , פונקציונלים לינאריים ממלאים תפקיד מרכזי בחקירת מרחבי בנך , ולכן נלמד אותם כבר בשלב זה , ולאופרטורים לינאריים נגיע רק בפרק הבא . פונקציונל לינארי הוא העתקה לינארית ממרחב וקטורי לשדה מעליו מוגדר המרחב . הגדרה מפורטת מופיעה בראש סעיף . 3 . 4 משפט ' , 3 . 2 הגדרה ' 3 . 3 ו התכונות שאחריה ( רא ו סעיף 3 . 4 ) תקפים גם במרחבי בנך , כי הם מנוסחים ומוכחים בעזרת מושג הנורמה בלבד . לא נחזור כאן על 1 למעט התכונה שכל פונקציונל לינארי במרחב הילברט סוף – ממדי הוא חסום . הוכחת תכונה זו ( במקרה כללי יותר של אופרטורים לינאריים ) מופיעה בדוגמה א בסעיף , 3 . 2 אך השתמשנו שם בבסיס אורתונורמלי . בכל זאת , התכונה נכונה גם עבור מרחבי בנך סוף – ממדיים , רא ו שאלה 16 בהמשך . חומר זה , אך נמליץ לקוראים לרענן את...
אל הספר