נתבונן במרחב וקטורי n – ממדי V עם בסיס { . { v , v , … , v n לכל V ∈ x קיימת הצגה יחידה n v k α ∑ = , x ועל סמך הצגה זו ניתן להגדיר אינסוף נורמות שונות במרחב , V למשל כך : k = 1 1 p ⎞ n ⎛ ∞< p ≤ , 1 ⎟ k α ∑ ⎜ = 1 ) x p ) ⎟ ⎜ ⎠ k = 1 ⎝ ( בדומה לנורמה של . ( ࡁ ברור כי מתקיימים התנאים ( ii ) , ( i ) של הגדרה 6 . 1 ואילו התנאי ( iii ) נובע מאי – שוויון מינקובסקי לסכומים ( רא ו ( 3 ) בסעיף . ( 6 . 2 לכן הנוסחה ( 1 ) מגדירה נורמה ב – . V באופן דומה , גם הנוסחה α 2 ) x = max ) k ∞ k מגדירה נורמה ב – , V וקיימות עוד כהנה וכהנה הגדרות ( למשל , אפשר לבחור בסיס אחר ב – , V ולחזור על הגדרות ( . ( ( 2 ) , ( 1 כך מתקבל מגוון מרחבים נורמיים , המתאימים לאותו מרחב וקטורי . V למרות שהתכונות הגיאומטריות שלהם עשויות להיות שונות בתכלית , כל המרחבים , מסתבר , זהים מבחינה טופולוגית . כוונתנו לכך , שאם סדרת איברי V מתכנסת לפי אחת הנורמות , אז היא מתכנסת לפי כל נורמה אחרת במרחב , ולאותו הגבול . זוהי מסקנה פשוטה ממשפט , 6 . 7 שהוא המשפט המרכזי בסעיף זה . נתחיל מהגדרה כללית בה אין אנו מניחים ש – V הוא סוף ...
אל הספר