משפט ג - 31 אי - שוויון הולדר יהיו ∞ < , 1 < p ∞ < 1 < q המקיימים : 1 1 1 1 ) 1 + = 1 ) p q ותהיינה ( L ( I ∈ L ( I ) , f ∈ . g אז ( L ( I ∈ gf ומתקיים : f g ≤ 2 ) fg ) 1 p q הערות א . השוויון ( 1 ) מתקיים בפרט עבור . p = q = 2 במקרה זה נקבל : או בצורה מפורשת יותר : אי – שוויון זה מכונה אי – שוויון קושי – שוורץ ( . ( Cauchy – Schwarz 1 ב . אם נסכים כי , = 0 יתקיים ( 1 ) גם כאשר , p = 1 ∞ = q או כאשר , q = 1 ∞ = . p ∞ במקרה זה לובש ( 2 ) את הצורה : הוכחת אי – שוויון זה פשוטה . מתקיים : כ . ב . מ . ב – g I ≤ g ∞ ולכן : כ . ב . מ . ב – g I ⋅ f ≤ 5 ) fg ) ∞ לפי הנתון , ( L ( I ∈ f ולכן ( משפט ג – 8 ) כן גם g ⋅ . f מכאן נובע ( רא ו טענה א ∞ בהוכחת משפט ג – 8 ) כי ( L ( I ∈ ⏐ fg ⏐ . לכן נסיק מ – ( 5 ) ( תוך שימוש בשאלה 4 ) כי : אשר אינו אלא ( . ( 4
אל הספר