היות שהמשחק הוא עם אינטרסים מנוגדים לחלוטין , מתקיים לכל אסטרטגיה מעורבת p של שחקן : 2 U ) 1 , pp 2 ( ≤ U ) 1 , pp ( הווי אומר , אם נתון ששחקן 1 משחק , p 1 אזי בשיווי המשקל ) p 1 , p 2 ( הוא מקבל את התשלום הנמוך ביותר האפשרי : U ) 1 , pp 2 ( = minU ) 1 , pp ( p 2 יתרה מכך , לכל אסטרטגיה מעורבת p 1 של שחקן 1 מתקיים : U ) 1 , pp 2 (< U ) , pp 2 (< minU ) , pp ( p 2 האי–שוויון הראשון נובע מכך שאסטרטגיית שיווי המשקל p 1 היא תגובה מיטבית של שחקן 1 ל– ; p 2 האי–שוויון השני נובע מכך שהתשלום U ) , pp 2 ( של שחקן 1 אינו נופל מהתשלום p 2 Umin ) , pp ( שאותו היה מקבל אילו שחקן 2 היה משתדל לפגוע בו במידת האפשר בהינתן האסטרטגיה . p 1 כך , אנו מסיקים כי לכל אסטרטגיה מעורבת p 1 של שחקן , 1 מתקיים : minU ) 1 , pp ( = U ) 1 , pp 2 (< minU ) , pp ( p 2 p 2 מכאן נובע כי p 1 היא אסטרטגיית ביטחון של שחקן , 1 ומתקיים U 1 ( , pp 12 ) = maxmin ( , Upp 112 ) p 1 p 2 כמבוקש . ההוכחה עבור שחקן 2 היא דומה , ומתקבלת מהיפוך שמות השחקנים במהלך הטיעון . מש " ל כאשר מדובר במשחק סכום אפס , שבו , U = U- 1 מתקיים ...
אל הספר