נספח: הוכחת הקיום של שיווי משקל נאש באסטרטגיות מעורבות

למרות שאסטרטגיות מעורבות אינן תמיד מושג טבעי , הן הופיעו כבר במאמר המקורי של נאש שבו הוא הציג את מושג שיווי המשקל שלו . הסיבה לכך היא כי בכל משחק עם מספר סופי של אסטרטגיות קיים שיווי משקל נאש , באסטרטגיות טהורות או מעורבות . כך , מושג האסטרטגיה המעורבת מספק פתרון ( או פתרונות ) לכל משחק עם מספר סופי של אסטרטגיות . בספר זה לא נביא הוכחה מפורשת למשפט קיום זה , אלא נסתפק בהסבר הרעיונות שבעזרתם מוכיחים את המשפט . כל ההוכחות של המשפט מסתמכות על משפחה של משפטים מתמטיים חשובים הנקראים משפטי נקודת שבת fixed-point ) . ( theorems בדיוננו זה נמשיך להתמקד במקרה שבו יש לכל שחקן i ∈ I שתי אסטרטגיות טהורות , כך שנוכל לייצג אסטרטגיה מעורבת שלו על–ידי ההסתברות p i ∈ ] 0 , 1 [ שבה הוא משחק את האסטרטגיה הראשונה מבין השתיים . עם זאת , נציין כי הרעיונות שנציג כאן הם כלליים , ותקפים גם במקרה שבו יש לכל שחקן מספר סופי כלשהו של אסטרטגיות ( ואפילו במקרים כלליים עוד יותר , שבהם לא נעסוק Nash , J . F . ) 1951 ( , Cooperative-Non Games , Annals of Mathematics 51 , pp . 295-286 . 71 במפורש בספר זה . ...  אל הספר