w = t v + B + t v k התלות הלינארית של } v , … , v { מבטיחה , שקיימים , s , … , ks שאינם כולם שווים ל- , 0 שעבורם : 0 = s v + B + s v k , w + 0 = w לכן ( w = ( t v + B + t v ) + ( s v + B + s v ולכן w = ( t + s ) v + B + ( t + s ) v kk מאחר שיש i שעבורו , s ≠ 0 ההצגה האחרונה היא הצגה של w כצירוף לינארי של , v , … , v k השונה מן ההצגה הקודמת . w = t v + B + t v k לכן ל- } w ∈ Span } , … , vv יש הצגות שונות כצירוף לינארי של . v , … , v ב . נניח שבתת-מרחב } Span } v , … , v יש וקטור , אשר הצגתו כצירוף לינארי של v , … , v k היא יחידה . לפי סעיף א לעיל , אילו } v , … , v { הייתה תלויה לינארית , לכל } w ∈ Span } , … , vv היו הצגות שונות , בסתירה להנחה . לכן } v , … , v { בלתי תלויה לינארית . תשובה 8 . 28 השאלה בעמוד 105 נניח בשלילה ש- } v , … , v , v { תלויה לינארית . פירוש הדבר הוא שקיימים סקלרים , , t , … , k tt k + 1 שלא כולם אפסים , שעבורם : t v + ⋅ ⋅ ⋅ + v + tt v = 0 לא ייתכן ש- , t = 0 כי אילו היה , יכולנו למחוק את המחובר t v מן השורה הקודמת , והייתה מתקבלת הצגה של 0 כצירוף לא טריוויאלי...
אל הספר