ההוכחה הקצרצרה של המשפט החשוב הבא היא פרי עמלנו עד כה . משפט 10 . 9 A ( ריבועית ) היא רגולרית ( הפיכה ) אם , ורק אם . A ≠ 0 1 ראו במסקנה . 10 . 7 2 ראו במשפט . 7 . 21 3 כדי להיווכח – פתחו את C לפי שורת האפסים . ובנוסח אחר , A ( ריבועית ) היא סינגולרית ( אי-הפיכה ) אם , ורק אם . A = 0 הוכחה כיוון אחד : נניח ש- A הפיכה . , AA -1 = I לכן , AA 1- = I = 1 וממילא , . AA 1- ≠ 0 אבל , AA 1- = A A 1- לכן , A A 1- ≠ 0 ולכן בהכרח . A ≠ 0 הכיוון האחר : נניח ש- . A ≠ 0 לא ייתכן שהדירוג של A למטריצת מדרגות קנונית יוביל למטריצה C שבה יש שורה של אפסים , כי אילו היה , היה קיים t ≠ 0 כך ש- , C = tA וזה לא ייתכן , שהרי , C = 0 ולעומת זאת . t A ≠ 0 לכן תהליך הדירוג של A בהכרח מסתיים במטריצת מדרגות ריבועית קנונית שבה אין שורה של אפסים , כלומר ב- . I לפיכך A שקולת שורות ל- , I לכן A הפיכה . › את הטענה A ≠ 0 אפשר אפוא להוסיף אחר כבוד לרשימת השקילויות של משפט . 9 . 23 שימו לב ! כאשר A הפיכה , מתקיים . AA -1 = I מאחר ש- I = 1 ודטרמיננטת מכפלה היא מכפלת הדטרמיננטות , מתקיים : . A A 1- = 1 אם-כן , אם A מטריצה רי...
אל הספר